一、核心收敛性分析

• 原函数：

  $$f(x) = \frac{1}{1-x-x^2}$$

• 截断多项式与原函数的关系：

  $$g_n(x) = f(x) - T_n(x)$$

  其中 $T_n(x)$ 是 $f(x)$ 幂级数中次数 $\geq 2n$ 的项之和。

• 零点收敛性条件：

  $$\lim_{n\to\infty} g_n(R) = f(R) = 0$$

二、求解奇点满足的方程

• 分母为 $0$ 的方程：

  $$1 - x - x ^ 2 = 0$$

• 标准二次方程形式：

  $$x ^ 2 + x - 1 = 0$$

  其中二次项系数 $a = 1$，一次项系数 $b = 1$，常数项 $c = -1$。

• 求根公式：

  $$x = \frac{-b \pm \sqrt{b ^ 2 - 4ac}}{2a}$$

• 代入系数求解：

  $$x = \frac{-1 \pm \sqrt{1 ^ 2 - 4 \times 1 \times (-1)}}{2 \times 1} = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}$$

• 两个实根：

  $$x_1 = \frac{-1 + \sqrt{5}}{2}$$

  （等价于 $\frac{1 - \sqrt{5}}{2}$）

  $$x_2 = \frac{-1 - \sqrt{5}}{2}$$

三、确定唯一收敛的根

• 数值近似：

  $$x_1 = \frac{-1 + \sqrt{5}}{2} \approx \frac{-1 + 2.2360679775}{2} = -0.61803398875$$$$x_2 = \frac{-1 - \sqrt{5}}{2} \approx \frac{-1 - 2.2360679775}{2} = -1.61803398875$$

• 唯一收敛的根：

  $$R = \frac{-1 + \sqrt{5}}{2} = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$$

四、数值计算与四舍五入

• 高精度近似计算：

  $$\sqrt{5} \approx 2.23606797749979$$ $$R = \frac{1 - 2.23606797749979}{2} = \frac{-1.23606797749979}{2} = -0.618033988749895$$

• 四舍五入保留 $10$ 位小数：

  $$R \approx -0.6180339887$$

五、最终结果